Verdadero o Falso: Segundo Parcial de Análisis Numérico

Método de Bisección

· El método de Bisección permite hallar cualquier raíz múltiple de un polinomio siempre que sea real. FALSO

Es importante destacar que este método no permite hallar raíces dobles, debido a que este tipo de raíces toca de manera tangencial el eje de las x. Por otra parte, este método no es capaz de diferenciar entre una raíz y una singularidad.

A la derecha, una raíz doble, a la izquierda, una raíz simple.

Método de Aproximación por Mínimos Cuadrados

· El grado del polinomio aproximante del método de aproximación por mínimos cuadrados está determinado por la cantidad de puntos dato. FALSO

El grado del polinomio aproximante utilizando aproximación por mínimos cuadrados, está determinado por el valor medio cuadrático y por la varianza. También es verdad que el grado máximo que se puede lograr, es (n-1), siendo n los puntos dato.

Método de Punto Fijo

· El método de punto fijo no converge si |f'(x)| > 1 en el intervalo. VERDADERO

Método de Splines Cúbicos

· En el método de splines cúbicos debe cumplirse que S»(x) = f»(x). FALSO

La condición para la cual se cumpla el método de splines es que:

• S(xi) = f(xi) para todo i = 0, 1, …, n

Método de Newton para Sistemas

· Una de las ventajas del método de Newton para sistemas sobre el método de Punto fijo es que sus resultados no son afectados, aun cuando el determinante de la matriz jacobiana sea nulo. FALSO

Una de las condiciones para aplicar el método de Newton para sistemas es que el determinante de la matriz jacobiana sea no nulo, ya que si lo fuera el sistema iterativo no tendría solución.

Coeficientes de Polinomios Aproximantes de Splines Cúbicos

· Una de las condiciones para determinar los coeficientes de los polinomios aproximantes de Spline Cúbicos es que se cumpla que: S»(x₀) = S»(x_n) = 0 y S»(x_i) = f»(x_i) para i = 1, 2, …, n-1. FALSO

La condición que se debe cumplir para el cálculo de los coeficientes de un polinomio para el método de splines es que:

• S»(x₀) = S»(x_n) = 0 Para frontera libre
• S»(x₀) = f»(x₀) y S»(x_n) = f»(x_n) Para frontera sujeta

Método de Bisección y Ecuaciones No Lineales

· No es posible hallar la solución de una ecuación no lineal por medio del método de Bisección si en algún momento durante el proceso se verifica que f(a) * f(b) = 0. FALSO

Si se verifica que f(a) * f(b) = 0, se estaría verificando que la raíz que estamos buscando se encuentre en el punto a o en el punto b. Por lo tanto, se estaría hallando la solución.

Sensibilidad de los Polinomios

· La diferencia entre el cero verdadero y el cero “perturbado” de un polinomio depende de la diferencia entre los coeficientes verdadero y “perturbado” del polinomio “Mónico”. VERDADERO

Se sabe que al polinomio sin perturbar, se lo divide por el coeficiente principal y se lo hace Mónico. Lo mismo se hace con el polinomio perturbado. Entonces, la raíz del polinomio sin perturbar será Z, que es el cero verdadero y la raíz del polinomio perturbado es Z* que es el cero perturbado. Entonces:

|Z – Z*| <= (Diferencia entre coeficientes) / (Coeficiente principal del polinomio sin perturbar)

Método de Deflación para Polinomios

· El método de deflación para polinomios solo puede aplicarse en el caso de raíces reales. FALSO

El método de deflación puede ser aplicado tanto para hallar raíces reales como complejas. Este método consiste en dividir al polinomio original por un término (x – Si) en el caso de raíces reales, siendo Si una raíz calculada por otro método, o dividirlo por (x^2 + Ax + B) en el caso de raíces imaginarias. Es decir que para raíces reales se divide por un término lineal y para raíces complejas por un término cuadrático.

Matriz Jacobiana en Sistemas de Ecuaciones No Lineales

· Existe un método de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales que requiere para su aplicación, que la matriz Jacobiana sea no singular. VERDADERO

Se refiere al método de Newton y punto fijo para sistemas.

Estimación de Raíces en Polinomios

· Cuando se estudia la sensibilidad de los polinomios es posible estimar cuánto se modifica el valor de una raíz en particular. VERDADERO

El método para la evaluación de sensibilidad se basa en la comparación de los coeficientes del polinomio verdadero y el polinomio perturbado.

Método de Newton-Modificado (Quasi-Newton)

· El método de Newton-Modificado (Quasi-Newton) generalmente realiza más iteraciones que el método de Newton para hallar la misma raíz, con la misma exactitud y partiendo del mismo valor inicial. FALSO

A modo informativo, el método de Newton Modificado se utiliza cuando se tiene que resolver un sistema muy grande.

Sus ventajas son:

• Realiza menor cantidad de operaciones.
• No necesita resolver un sistema de ecuaciones lineales en cada iteración.
• Obtiene los incrementos de las variables por medio de simples cocientes.

Sus desventajas son:

• Converge más lentamente que Newton.
• Necesita de un punto de partida muy cercano a la solución.

Método de Punto Fijo y Convergencia

· La función g(x) = f(x) + x permite hallar una raíz de f(x) = 0 con el método punto fijo en el intervalo [a, b] si |g'(x)| < 1 en dicho intervalo. FALSO

Efectuar la derivada de g(x) y comprobar reemplazando en puntos del intervalo que su valor es mayor en valor absoluto a 1, en ese caso el método no converge.

Método de Newton Modificado para Sistemas

· El método de Newton Modificado para sistemas de ecuaciones no lineales puede divergir si los órdenes de error de las diferencias utilizadas son diferentes entre sí. FALSO

El método de Newton modificado no utiliza diferencias para su resolución, sino que consiste en la resolución de un sistema matricial. Puede divergir si no se le coloca una estimación inicial de la raíz cercana al valor real.

EDDP Hiperbólicas

· El primer valor de la solución de una EDDP hiperbólica se puede calcular siempre que la velocidad inicial sea diferente de cero. FALSO

El primer valor se puede calcular si se conoce la distribución de velocidades independiente de que sea cero o no. Es necesario conocer el valor de u(x, t) para tiempo cero.

EDDP Parabólicas

· La inestabilidad en la resolución de las EDDP Parabólicas por el método de diferencias finitas, es debida a que los términos de error de dichas diferencias no son del mismo orden. VERDADERO

Matriz Jacobiana Singular

· Existe un método de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales que requiere para su aplicación, que la matriz Jacobiana sea singular. FALSO

Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo. Por lo tanto, si la matriz Jacobiana fuera singular para el método de Newton o de punto fijo para la resolución de sistemas, tendríamos una indeterminación en el sistema iterativo de la resolución (división por cero).

Etiquetas: Análisis Numérico, Ecuaciones Diferenciales, Método de Bisección, Método de Newton, Splines Cúbicos