Aproximaciones, Errores y Proporcionalidad

El error debemos entenderlo como una diferencia entre dos valores, uno que se supone exacto y otro que se da como aproximación. El error está presente inevitablemente en toda operación que necesite el uso de aparatos de cálculo o de medida.

Si queremos medir una longitud, la precisión de la medida estará limitada por la del aparato. Por ejemplo, con una regla graduada en milímetros no se puede dar una medida de longitud con las décimas de milímetro correctas.

1. Aproximaciones.

En multitud de ocasiones necesitamos aproximar los números para facilitar las operaciones. Esto podemos hacerlo con mayor o menor precisión, según las necesidades del problema que enfrentemos.

Hay dos formas de aproximar un número:

1. Por Truncamiento

2. Por Redondeo

1. Aproximaciones por truncamiento.

Consiste en aproximar un número con un valor menor al propio número. El procedimiento es tan sencillo como quitar decimales a partir de uno determinado y dejar los anteriores como estaban.

Ejemplos:

5´747321…	Décimas	Centésimas	Milésimas
Defecto	5´7	5´74	5´747

74´666666…..	Décimas	Centésimas	Milésimas
Defecto	74´6	74´66	74´666

1. 2. Aproximaciones por redondeo.

Consiste en aproximar un número con un valor mayor al propio número. El procedimiento es tan sencillo como elevar en una unidad el decimal correspondiente a la precisión solicitada.

Ejemplos:

5´747321…	Décimas	Centésimas	Milésimas
Exceso	5´8	5´75	5´748

Nota: En el caso del número , éste es un número decimal exacto cuyo valor es 1´2. Al tener un solo decimal no necesita ser aproximado y lo único que se hace con él es completarlo con ceros, hasta obtener el número de decimales solicitados.

Veamos ahora, a través de un ejemplo, el caso de números grandes.

2. Errores

Existen dos tipos de errores:

1. Error Absoluto

Cuando aproximamos estamos cometiendo un error, siendo este la diferencia entre el valor exacto y el aproximado. Este error se llama absoluto y lo denotaremos por . Matemáticamente:

2. Error Relativo

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor aproximado (o la medida) y se denota como .

Matemáticamente:

Ejemplo:

“Qué errores, absoluto y relativo, se cometen al decir que a un partido de fútbol han asistido 50000 espectadores, si realmente han asistido 54328?

En el caso del Error Relativo, hemos multiplicado el resultado por 100 para obtenerlo en tanto por ciento.

El Error Relativo es el que determina la “calidad” de una aproximación o de una medida. Aquella que tienen mejor está mejor realizada.

Cómo se expresan los errores

Los aparatos de medida tienen una precisión limitada. Eso significa que el valor que ofertan, una vez realizada la medida, puede ser incorrecto por exceso o por defecto. Es decir, que el valor real puede ser mayor o menor que el valor medido.

Esto se expresa matemáticamente de la siguiente forma:

Esto hace que el valor real se encuentre dentro de un intervalo de valores.

Ejemplo 1:

“Si me peso en una báscula de farmacia, cuyo precisión es del 2% , y ésta me indica que mi peso es de 82´5 kg, ¿entre qué valores se encuentra mi peso real?

El 2% de 82 kg es .

Con esta operación hemos convertido el error relativo (2%) en error absoluto (1´7 kg).

Quiere decir que la báscula se puede equivocar en 1´7 kg de más o de menos.

Es decir, mi peso es

Lo cual quiere decir que mi peso real está entre 80´8 kg y 84´2 kg. No es muy buena báscula, porque no es capaz de precisar mucho, ¿no?

Ejemplo 2:

“Repitamos el ejercicio anterior pero con una báscula más precisa, cuyo error relativo es tan solo del 0,25%. ¿Entre qué valores se encuentra el peso de un bebé si el valor dado por la báscula es de 5´630 kg?

El 0´25% de 5´630 kg es .

Con esta operación hemos convertido el error relativo (0,25%) en error absoluto (0´014 kg).

Quiere decir que la báscula se puede equivocar en 14 gramos de más o de menos.

Es decir, el peso del bebé es

Lo cual quiere decir que mi peso real está entre 5´616 kg y 5´644 kg. Esta báscula es claramente mejor que la anterior.

4. Magnitudes directamente proporcionales.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada o dividida por dicho número.

Ejemplo de magnitudes proporcionales: Velocidad y Distancia Recorrida

¿Cómo se resuelve un problema de proporcionalidad directa? Veámoslo con un ejemplo:

Un coche que circula a 110 km/h recorre una distancia de 340 km. ¿Qué distancia hubiese recorrido si hubiese circulado a 130 km/h?

Se plantea la proporción:

El coche hubiese recorrido unos 402 km circulando a 130 km/h

Nota: esto se podría haber planteado también con una regla de 3

110 340

130 x

5. Magnitudes inversamente proporcionales.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una cantidad de una de las magnitudes por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por dicho número.

Ejemplo de magnitudes inversamente proporcionales: Nº de obreros y días de trabajo

¿Cómo se resuelve un problema de proporcionalidad directa? Veámoslo con un ejemplo:

Ocho obreros tardan 25 días en terminar un trabajo. ¿Cuánto tardarían si hubiese tan solo 3 obreros?

Se plantea la proporción:

Por tanto, 3 obreros tardarían unos 67 días en terminar la obra. Esta resolución requiere un paso intermedio, en el que intercambiamos las cantidades de los denominadores.

6. Proporcionalidad Compuesta.

Nos encontramos ahora con 3 o más magnitudes diferentes. Ilustramos la resolución de este tipo de problemas con un ejemplo:

En una campaña publicitaria 6 personas reparten 5000 folletos en 5 días. ¿Cuántos días tardarán 2 personas en repartir 3000 folletos?

Nº personasNº folletosNº días

6 5000 5

2 3000 x

Observa cómo, al ser la relación entre el nº de personas y el nº de días inversamente proporcional, se han invertido verticalmente el 6 y el 2.

Etiquetas: aproximaciones, error absoluto, error relativo, errores, proporcionalidad directa, redondeo, truncamiento