ARONHOLD KENNEDY:

Los tres centros instantáneos de rotación correspondientes al movimiento relativo entre tres planos móviles, son colineales.

Este teorema es independiente de que dichos planos estén conectados o no mediante pares cinemáticos.

Supongamos que P23 ahora cae en P’23 en contra del teorema de Aronhold

La velocidad de P23 del 2 y la del 3 debe ser la misma.

Reordenando:

si P23 cae entre P12 y P13, ω2 y ω3 tienen distinto sentido, mientras que si cae fuera, tienen el mismo sentido.

Polos: (N-1)/2 

1. Todos los pares de rotación que existan en el mecanismo. 

2. El punto del infinito cuya dirección es perpendicular a la de traslación de un par
prismático. El movimiento relativo es una traslación pura.
3. El punto de contacto en un par de rodadura.
4. En un par de leva, el polo se encuentra en la normal a las superficies en el punto de
contacto.

HARTMANN:

El extremo del vector velocidad de un punto, el centro de curvatura de su trayectoria y el extremo de la componente paralela a la velocidad del punto, del vector velocidad de cambio de polo, están alineados.

P21, P31 y P32 están permanentemente alineados, luego los extremos de las componentes de sus velocidades perpendiculares a P21P31 están alineados. 

La velocidad de P21 es u21, y su componente perpendicular es u’21. P31 ocupa permanentemente el centro de curvatura de la trayectoria de A, esto es, OA. La velocidad de P31 (u31) se encuentra sobre la recta P21P31, por lo cual su componente perpendicular es nula. P32 coincide permanentemente con el punto A, por lo que su velocidad será vA. Queda, pues, demostrado el teorema Hartmann.

EULER-SAVARY:

Expresión analítica del teorema de Hartmann. 

El criterio que se adopta es el siguiente: el sentido positivo de las ordenadas es hacia O1 y el de abscisas en el sentido que hace positivo al sistema de referencia.  θ es un ángulo positivo que define la posición del radio vector PA. la magnitud de la velocidad de cambio de
polo verificará,       Dicha ecuación también es válida para el instante considerado debido al contacto de
2o orden entre polodias y circunferencias osculadoras: Considérese, ahora, un punto A del plano móvil cuya velocidad   vA = ω ⋅ PA     Desarrollamdo: Ecuación de Euler-Savary:      Otra forma: Euler-Savary. La determinación de los signos de r0* y r1* es igual a la de OAP* y PA*

CIRCUNFERENCIA DE LAS INFLEXIONES:

El lugar geométrico de los puntos del plano móvil que no tienen aceleración normal por encontrarse en un punto de radio de curvatura infinito. 

Haciendo OAP* = ∞ y PA* = r en la fórmula de Euler-Savary: se prescindirá del * por comodidad.        

En coordenadas cartesianas (x = r ⋅ cosθ; y = r ⋅ senθ):

Ecuación de una circunferencia de diámetro δ, tangente a la velocidad de cambio de polo en el polo, y que se denomina circunferencia de las inflexiones o de De la Hire:

GRASHOF: 

Sólo la barra más corta de un cuadrilátero articulado puede dar vueltas completas respecto de todas las demás (y viceversa), si se verifica que la suma de longitudes de la barra más corta y de la más larga, es menor que la suma de las otras dos. 

1º)   L1+L2 L4-L3               Lmin+e

ÁNGULO DE TRANSMISIÓN:

δ + μ = 90º      Si δ =0º Bueno,  Si δ =90º Malo

VENTAJA MECÁNICA:

  Potencia de entrada = Potencia de salida

Se saca relacionado velocidades, la de arriba es ventrada y abajo vsalida. 

La VM puede quedar infinito en un instante concreto de la posición del mecanismo, pero nunca puede quedar siempre infinito. Para solucionar eso, sustituimos un elemento por el elemento inmediatamente posterior o anterior, o sacamos las velocidades relacionandolas de alguna forma.

SÍNTESIS DE GENERACIÓN DE FUNCIONES:

Ecuación de Freudenstein

Relaciona las posiciones de los elementos de entrada y salida de un cuadrilátero articulado. Se elimina θ, la pasiva, entre ambas ecuaciones, se elevan al cuadrado ambas y se suman;  Dividiendo la anterior ecuación por 2ab queda: Ecuación de Freudenstein:

Los coeficientes que aparezcan serán la cantidad de puntos de precisión que obtengamos.

SINGULARIDADES: [Js]{salidas}=-[Je]{entradas}

-S. del problema directo: |Js|=0 con |J| distinto de 0.

-S. del problema inverso: Con más de 1 gdl: |Je|=0 con |J| distinto de 0 ; Con 1 gdl: Hacemos Kramer con el vector -[Je]{entradas} a la salida y la igualamos a 0

-Incremento de movilidad Rango[J] disminuye sin disminuir los gdl.

Métodos gráficos para la generación de trayectorias con puntos de precisión:

1. Tres puntos de precisión: datos de partida A0 y B0, la longitud a (A0 A) de la manivela y la longitud e (AP) del acoplador

1. Con centro en A0, se traza una circunferencia de radio a.
2. Con centro en P1, P2 y P3, y radio e, se trazan tres arcos de circunferencia que se cortan con la anterior circunferencia en tres puntos A1, A2 y A3.
3. Se construyen los triángulos A1P1B′0 y A1P1B0′′ iguales a A2 P2 B0 y a A3 P3 B0 respectivamente, obteniendo los puntos B′0 y B0′′.

4. Se obtiene el centro de la circunferencia que pasa por los puntos B0, B′0 y B0′′, que es la articulación móvil B en la posición 1: B1.

2. Cuatro puntos de precisión: datos: la posición de las articulaciones fijas A0 y B0 y la longitud e (AP) del acoplador

1. Se posiciona el punto B0 en cualquiera de las seis posibles mediatrices a los puntos P1, P2, P3 y P4.

2. Con centro en B0 y radio arbitrario, se traza un arco de circunferencia.
3. Con centro en P1 y P4 y radio e (valor supuesto) se trazan dos arcos que cortan al anterior en los puntos A1 y A4.
4. Se traza la mediatriz al segmento A1 A4. Evidentemente, esta mediatriz pasa por B0. Sobre la misma se posiciona A0, quedando definida, por tanto, la longitud a (A0 A) de la manivela.
5. Mediante la intersección de la circunferencia trazada con centro en A0 y radio a (A0A) y los arcos trazados con radio e (AP) y centros P2 y P3, se determinan las posiciones A2 y A3.

6. Se construyen los triángulos A1P1B′0 y A1P1B0′′ iguales a A2 P2 B0 y a A3P3B0 respectivamente, obteniendo los puntos B′0 y B0′′.

7. Se obtiene el centro de la circunferencia que pasa por los puntos B0, B′0 y B0′′. Este centro es el punto B1 correspondiente a la articulación B en la posición 1.

COGNADOS:

1. Las barras A′P y A0A′ son iguales y paralelas a A0 A y AP, respectivamente.
2. Las barras B′P y B0B′ son iguales y paralelas a B0 B y BP, respectivamente.
3. El triángulo PA′C′ es semejante al BAP.
4. El triángulo B′PC′′ es semejante al BAP.
5. Las barras C′C0 y C0C′′ son iguales y paralelas a PC′′ y C′P, respectivamente.

Puesto que los tres acopladores son semejantes se verificará: 1. A0C0 es un vector constante en magnitud y dirección ya que no contiene variable alguna. Por tanto, C0 es un punto fijo, independiente de la posición del mecanismo.

Guiado de tres posiciones:

Si me dan A0 y B0, unes A0 con las A y B0 con las B. (izda)

Si no me dan A0 y B0, tiro mediatrices entre las A y donde corten pongo A0 y lo mismo con B. (dcha)

Si me dan A0 y B0, hacemos triangulos iguales entre CDA0 de los perfiles 2 y 3 con el 1 y lo mismo con B0(izda)

Guiado de cuatro posiciones:

 Si no me dan A0 y B0, tiro mediatrices entre las C y entre las D de los dos primeros y donde corten pongo A0 y lo mismo                                                          con los dos segundos y B0. (dcha) 

ROBOTS:

Ejercicios de robots:

1º) zi coincide con el eje del par i+1.

2º) xi va en la dirección QiOi, es decir, en la dirección hacia la distancia mínima entre zi-1 y zi, si zi-1 y zi se cortan, lo pongo perpendicular.

3º) yi formando triedro directo.

θi = Ángulo entre xi-1 y xi según zi-1

di = Distancia entre xi-1 y xi según zi-1

ai = Distancia entre zi-1 y zi según xi

αi = ängulo entre zi-1 y zi según xi

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