PROBABILIDAD

El concepto de experimento aleatorio como un proceso que se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones cuyos resultados no se pueden predecir con certeza. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral y se representa por la letra E mayúscula, E= 􁈼1,2,3,4,5,6􁈽 Por ejemplo, podrían ser todos los posibles resultados al tirar un dado.

Sucesos

A los resultados de un experimento aleatorio, o subconjunto del espacio muestral, se les denominan sucesos y se representan por letras mayúsculas: A, B,…

Elementales y compuestos

Los sucesos pueden ser elementales y compuestos. Según Garriga-Trillo et al. (2010) los sucesos elementales constan de un solo resultado del espacio muestral, mientras que los sucesos compuestos constan de dos o más resultados del espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar el dado el suceso A ={4} obtiene un cuatro, es un suceso elemental, mientras que el suceso B = {2,4,6} que obtiene todos los números pares y el suceso C= {3,6} que obtiene un tres y un múltiplo de tres son sucesos compuestos.

Union e Intersección

UNION: de dos sucesos A ∪ B = {2,4,6} formado por todos los sucesos elementales que están en A y en B.

INTERSECCIONI: A ∩ B = {4} formado solamente por el suceso que pertenece a A y B a la vez. Cuando la intersección de dos sucesos no contiene ningún elemento se dice que son excluyentes. Por ejemplo, los sucesos A y C lo son: A ∩ C = { } = ∅.

Complementario

COMPLEMENTARIO: Ā = {1,2,3,5,6} al subconjunto de E formado por los sucesos elementales que no pertenecen a A.

Probabilidad

“la PROBABILIDAD de un suceso es igual al cociente entre el número de casos favorables de que ocurra ese suceso y el número de casos posibles en el supuesto de que todos los casos tengan la misma oportunidad de ocurrir”. Probabilidad de un suceso = número de casos favorables/número de casos posibles. Por ejemplo:

Probabilidad condicionada

Probabilidad condicionada: Veamos la probabilidad condicionada a través de un ejemplo, que replica situaciones de la vida cotidiana donde la aparición de un suceso A depende de la aparición de otro suceso B. Diremos en estos casos que los sucesos A y B son dependientes porque la probabilidad de A depende, o está condicionada, al suceso B. La propiedad condicionada se escribe así P (A_B) donde B es la condición requerida.

Regla del Producto

Regla del Producto: Hasta ahora hemos considerado la realización de un solo experimento aleatorio pero en muchas ocasiones repetimos el experimento varias veces. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire varias veces, al extraer una a una varias bolas de una urna, etc. En general, casos en que realizamos un proceso varias veces.

Teorema de Bayes

Teorema de Bayes: El teorema del Bayes se deriva del teorema del producto y se expresa así: P (A_B) = PA * P (B_A) / P (B) La importancia de este teorema radica en los trabajos que ha generado y en la corriente denominada bayesiana que tienen amplias aplicaciones y cuyo estudio sobrepasa los objetivos de esta unidad.

Variables aleatorias

Variables aleatorias: En un experimento aleatorio podemos definir las variables de la manera que creamos oportuna, podemos lanzar una moneda al aire en tres ocasiones y podemos definir la variable como el número de cruces obtenidas, o cómo el número de caras obtenidas, o también como una variable que toma el valor 1 cuando el número de caras obtenidos es mayor que el número de cruces y toma el valor cero en otros casos. Pues bien, definida la variable y una vez obtenido un resultado en el experimento aleatorio, la función asigna un valor número inequívoco a ese resultado. Lo que es aleatorio, en lo que interviene el azar, es el resultado que obtenemos al realizar el experimento aleatorio y no la variable en función.

Variables aleatorias discretas

Variables aleatorias discretas: En este apartado vamos a trabajar con las variables aleatorias discretas e introduciremos a través de un ejemplo los conceptos de función de probabilidad y función de distribución.

Función de probabilidad

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, representada por f(x), como aquella función que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor. Es decir, f (x) = P (X = x) las dos propiedades que deben de cumplir la función de probabilidad son:

Función de distribución

Se llama función de distribución de una variable aleatoria discreta X, representada por F (x), a aquella función que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor o cualquier otro inferior, y se expresa así: F (X) = P (X ≤ x)

Distribuciones Estadísticas

Distribución binomial

Existen algunas distribuciones discretas que, por su interés y por su utilización a menudo como modelos estadísticos son importantes. De la mayoría se han elaborado una serie de tablas que facilitan su utilización en problemas concretos. Una de ellas es la denominada distribución binominal que sólo toma dos valores (variables dicotómicas), acierto o fracaso, y que habitualmente se representa como 1 y 0. Por su amplia utilización en Ciencias Sociales y de la Salud, vamos a estudiarla a continuación.

Distribución Normal

Las distribuciones que hemos visto hasta ahora son distribuciones para variables aleatorias discretas y sobre un número finito de casos. Sin embargo, resulta útil desde un punto de vista matemático, pensar en términos de distribuciones basadas en un número infinito de casos. Tales distribuciones vendrán representadas por curvas cuyos extremos se van acercando suavemente al eje de X pero sin cruzarse con él, y que, además pueden expresarse por medio de ecuaciones matemáticas relativamente simples. La distribución normal es una curva de ese tipo.

Distribución Chi cuadrado

La distribución Chi cuadrado de Pearson está bastante relacionada con la distribución normal que acabamos de ver en el apartado anterior.

Distribución “t” de Student

Se puede definir una distribución “t” como el cociente entre una variable N(0,1) y la raíz cuadrada de una variable Xn 2 dividida por sus grados de libe3rtad, su nombre se debe al matemático Gosset que publicó su trabajo bajo el seudónimo de Student.

Distribución “F” de Snedecor

Se como F de Fisher o Snedecor, se emplea fundamentalmente en el contraste de hipótesis.

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