Los Comienzos del Cálculo: Procedimientos para Sumar y Restar

Existen dos formas de comunicar cantidades: las colecciones de muestra y las representaciones numéricas. Por ejemplo, para representar una cantidad de 4 ovejas:

Los niños se inician en la resolución de problemas de sumar, y de restar, empleando dos tipos de procedimientos:

1. Procedimientos para contar, que requieren el uso de objetos con los que representan o construyen la situación descrita en el enunciado.
2. Procedimientos de cálculo, estableciendo una relación directa entre las cantidades mediante sus representaciones numéricas, sin pasar por la construcción física de colecciones cuyos elementos se cuentan.

El Esquema Parte-Todo

La presencia del esquema parte-todo constituye un gran logro conceptual para el niño, ya que le permite pensar en los números como compuestos de otros números. De esta forma, la resolución de un problema se realiza mediante la representación de los datos en términos de parte-todo; es decir, asignándoles la categoría de parte o la de todo, lo que posibilita la identificación adecuada de la incógnita y la utilización de la estrategia de cálculo adecuada.

El esquema parte-todo le permite al niño entender que una colección de objetos puede ser al mismo tiempo un conjunto en sí, y también un subconjunto de otro mayor. Esto hace posible que el niño pueda entender y aplicar la regla del recuento progresivo, que señala un hito importante en el desarrollo del cálculo. Mediante esta regla, a partir de una cantidad inicial se prosigue el conteo con los elementos de la segunda cantidad. Estos últimos deben considerarse al mismo tiempo como de la parte y también del todo.

Introducción de los Signos =, +

El empleo de los signos =, + no es condición previa para el inicio del cálculo, que puede desarrollarse de una forma oral. Tampoco es un condición previa para la resolución de problemas concretos. Sin embargo, existen dos razones para su introducción.

1. En primer lugar, las igualdades numéricas tienen un gran valor pedagógico en sí mismas, ya que, aunque no sirven para resolver problemas concretos, constituyen excelentes situaciones de aprendizaje de cálculo.
2. Además, los niños tienen que aprender a manejar cifras escritas según la lógica del cálculo, pues en caso contrario se corre el riesgo de que se imponga la lógica de la serie numérica.

Estrategias para la Suma

Los niños utilizan muy pronto la estrategia de contar todo con modelos físicos, en la que se representan ambos conjuntos mediante objetos físicos, recontándolos todos después. Se le denomina recuento total (RT) con modelos.

Dentro de las estrategias de contar sin modelos:

• En la de recuento total a partir del primer sumando (RTP) se inicia el conteo en el primer sumando a partir de un recuento mental (uno, dos, tres…) y se continúa en el segundo sin usar objetos ni dedos para representar los términos de la suma.
• Cuando en lugar del primer sumando toma el mayor para iniciar el conteo, se trata de la estrategia recuento total a partir del mayor sumando (RTM).
• En la estrategia de contar a partir del primer sumando (RSP) se inicia el conteo a partir del cardinal del primer sumando y se continúa uno a uno con el segundo.
• De un modo similar se lleva a cabo la de contar a partir del sumando mayor (RSM).
• Además, puede darse un caso mixto “mental-modelo” en el que se comienza por el conteo mental de la primera cantidad y se continúa por la segunda que previamente fue representada con un modelo físico (ya sea por conteo o por percepción inmediata).

Las estrategias referentes a hechos numéricos pueden estar fundamentadas en la memorización o en reglas. En las primeras, el hecho numérico se recupera rápida y eficazmente de la memoria de forma automática y sin conteo. Las reglas se refieren a procedimientos en los que el niño recompone de alguna forma los números de los dos sumandos para llegar al resultado final.

Estrategias para la Resta

Los niños usan una gran variedad de estrategias para resolver problemas simples de sustracción.

• Una de ellas consiste en representar la cantidad mayor de objetos, quitando de la misma un conjunto de objetos igual al sustraendo.
• Otra en contar hacia atrás a partir del mayor de los números, retrocediendo tantas veces como indica el menor.
• También puede añadir a la cantidad del conjunto menor los objetos que sean necesarios hasta igualar con el conjunto mayor.
• El emparejamiento también es una estrategia frecuente, y consiste en formar una correspondencia uno-a-uno entre dos conjuntos que representen los términos de la resta; después bastaría con contar los elementos no emparejados.

Tipos de Problemas Aditivos

En función de las relaciones semánticas subyacentes, pueden distinguirse cuatro tipos de problemas aditivos: de cambio, de combinación, de comparación y de igualación.

• Los problemas de cambio se caracterizan por una acción temporal, ya sea implícita o explícita, que modifica una cantidad inicial, dando como resultado un incremento o decremento de esa cantidad.
• Los de combinación y comparación implican relaciones estáticas. En concreto, los de combinación presentan dos cantidades disjuntas que se pueden considerar aisladamente o como integrantes de un todo. Los de comparación pretender determinar la diferencia entre dos cantidades conocidas.
• Y los de igualación constituyen una mezcla de los problemas de comparación y cambio.

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