Fórmulas de Cálculo de Rentas

Renta Constante

• Valor Final (VF):
  • Vencida: Sn = C * [(1 + i)^n – 1) / i]
  • Adelantada: S’n = C * [(1 + i)^n – 1) / i] * (1 + i)
• Valor Actual (VA):
  • Vencida: Vn = C * [(1 + i)^n – 1) / [i * (1 + i)^n]]
  • Adelantada: V’n = C * [(1 + i)^n – 1) / [i * (1 + i)^n]] * (1 + i)

Renta Combinada

• Valor Final (VF):
  • Vencida: Snm = mα * [2 + i'(m – 1) / 2] * [(1 + i)^(n/m) – 1] / i
  • Adelantada: S’nm = mα * [2 + i'(m + 1) / 2] * [(1 + i)^(n/m) – 1] / i
• Valor Actual (VA):
  • Vencida: Vnm = mα * [2 + i'(m – 1) / 2] * [(1 + i)^(n/m) – 1] / [i * (1 + i)^(n/m)]
  • Adelantada: V’nm = mα * [2 + i'(m + 1) / 2] * [(1 + i)^(n/m) – 1] / [i * (1 + i)^(n/m)]

Renta con Subperíodos

• Valor Final (VF):
  • Vencida: Smn = C * [(1 + i)^(n*m) – 1] / [(1 + i)^m – 1]
  • Adelantada: S’mn = C * [(1 + i)^(n*m) – 1] / [(1 + i)^m – 1] * (1 + i)^m
• Valor Actual (VA):
  • Vencida: Vmn = C * [(1 + i)^(n*m) – 1] / [(1 + i)^m – 1] * 1 / (1 + i)^(n*m)
  • Adelantada: V’mn = C * [(1 + i)^(n*m) – 1] / [(1 + i)^m – 1] * 1 / (1 + i)^(n*m) * (1 + i)^m

Progresión Geométrica

• Valor Final (VF):
  • Vencida: Sq = C * [q^n – (1 + i)^n] / [q – (1 + i)]
  • Adelantada: S’q = C * [q^n – (1 + i)^n] / [q – (1 + i)] * (1 + i)
• Valor Actual (VA):
  • Vencida: Vq = C * [q^n – (1 + i)^n] / [q – (1 + i)] * 1 / (1 + i)^n
  • Adelantada: V’q = C * [q^n – (1 + i)^n] / [q – (1 + i)] * 1 / (1 + i)^n * (1 + i)
• Caso especial (q = 1 + i):
  • Valor Final: Sq = C * n * (1 + i)^(n-1); S’q = C * n * (1 + i)^n
  • Valor Actual: Vq = C * n * 1 / (1 + i); V’q = C * n

Progresión Aritmética

• Valor Final (VF):
  • Vencida: Sr = (C + r/i) * [(1 + i)^n – 1] / i – nr/i
  • Adelantada: S’r = [(C + r/i) * [(1 + i)^n – 1] / i – nr] * (1 + i)
• Valor Actual (VA):
  • Vencida: Vr = (C + r/i + nr) * [(1 + i)^n – 1] / [i * (1 + i)^n] – nr/i
  • Adelantada: V’r = (C + r/i + nr) * [(1 + i)^n – 1] / [i * (1 + i)^n] – nr/i * (1 + i)

Sistemas de Amortización

Sistema Francés

• Características: Cuotas constantes y vencidas. Desembolso de dinero igual en cada período hasta cancelar la obligación. Renta de cuotas constantes, temporaria, cierta, a interés compuesto, amortización creciente, interés sobre saldo.
• Fórmulas:
  • Vn = C * [(1 + i)^n – 1] / [i * (1 + i)^n]
  • C = Vn * i * (1 + i)^n / [(1 + i)^n – 1]
• Composición de la cuota: Interés y amortización real.
• Relación entre cuota, amortización e interés: Cuotas constantes, proporción de amortización real creciente e intereses decrecientes. Para que la deuda se reduzca, la cuota (C) debe ser mayor al interés del primer período (Vni), y habrá amortización de deuda.
• Amortización real de un período a partir del fondo amortizante:
  • Amortizaciones sucesivas:
    • t1 = C – Vn * i
    • t2 = C – (Vn – t1) * i = t1 * (1 + i)
    • t3 = C – (Vn – t1 – t2) * i = t1 * (1 + i)^2
    • t4 = C – (Vn – t1 – t2 – t3) * i = t1 * (1 + i)^3
  • Generalizando: tp = t1 * (1 + i)^(p-1)
• Fondo amortizante en función de la cuota (C):
  • t1 = C – Vni
  • t1 = C – C * [(1 + i)^n – 1] / [(1 + i)^n]
  • t1 = C * [1 / (1 + i)^n]
• Deuda en función del fondo amortizante:
  • Vn = t1 + t2 + t3 + … + tn
  • Vn = t1 * [(1 + i)^n – 1] / i
  • t1 = Vn * [i / ((1 + i)^n – 1)]
• Deuda pendiente:
  • Vn-p = Vn – Tp
  • Vn-p = Vn * [(1 + i)^n – (1 + i)^p] / [(1 + i)^n – 1]
• Período medio de reembolso:
  • Vn/q = t1 * [(1 + i)^m – 1] / i
  • m = [log((1 + i)^n + (q – 1)) – log q] / log(1 + i)
  • Período de reembolso (q = 2): m = [log((1 + i)^n + 1) – log 2] / log(1 + i)
• Tasa de amortización:
  • T = i / [(1 + i)^n – 1]
  • C = Vn * (i + T)
  • Deuda: Vn = C / (i + T)
• Sistema francés en contextos inflacionarios:
  • La fórmula Vn = C * [(1 + i)^n – 1] / [i * (1 + i)^n] presupone que la tasa ‘i’ se mantendrá constante durante todo el período ‘n’. No admite variaciones en las tasas.
  • En momentos de elevada inflación, el componente de mayor importancia en ‘i’ es la expectativa de desvalorización monetaria, lo que hace que lo que llamamos intereses en realidad tengan un mayor componente de ajuste de capital, produciendo distorsiones al pagarlo como interés.
  • Se potencian intereses gravados con impuestos, como el IVA, ya que se aplica el impuesto sobre el ajuste de capital, lo que podría significar tasas confiscatorias.
  • Nuestra economía y prácticas bancarias han impuesto la tasa flotante, por lo que la fórmula anterior resulta inaplicable.
• Cálculo de la cuota (C) con tasa flotante:
  • C = tp + Vn-p * i
  • tp: Amortización real del subperíodo p
  • Vn-p: Deuda pendiente al momento p
  • i: Tasa de interés
  • Al variar la tasa, la alternativa es calcular el cuadro de amortización con la tasa vigente al momento de pactarse la operación. Para el pago de C, calculamos los intereses con las tasas flotantes que estuvieron vigentes en cada período.
  • Dos valores se van a alterar: el importe de C y el de los intereses.
  • Cp = tp + Vn-p * (i1*d1 + i2*d2 + … + in*dn)

Sistema Americano

• Características: Se presta la suma ‘V’ por ‘n’ períodos a una tasa periódica ‘i’. Al final de cada período, el deudor abona el interés vencido (Vn * i) y, a la conclusión del plazo, junto con el último pago de intereses, devuelve la suma ‘Vn’. Los intereses al final de cada mes se calculan sobre la deuda total y con la última cuota se paga el importe total de la deuda. Se utiliza una tasa pasiva y se exige la constitución de un fondo de amortización para reunir el importe adeudado, cobrando una tasa pasiva.
• Fórmulas:
  • Deuda: Vn = t * [(1 + i’)^n – 1] / i’
  • Fondo de amortización: t = Vn * [i’ / ((1 + i’)^n – 1)]
  • Cuota: C’ = Vni + t
  • Reemplazando ‘t’: C’ = Vni + Vn * [i’ / ((1 + i’)^n – 1)]
  • i’: Tasa pasiva
  • i: Tasa de interés
• Comparación con el sistema francés:
  • Desarrollando la inversa del valor actual del sistema francés para capitales unitarios (Vn = 1):
    • Vn^-1 = i * [(1 + i)^n] / [(1 + i)^n – 1]
    • Vn^-1 = i + i * [1 / ((1 + i)^n – 1)]
    • Vn^-1 = i + Sn^-1
    • Vn^-1 – i = Sn^-1
  • Cuota: C’ = Vni + t
  • Fondo de amortización: t = Vn * Sn^-1(i’)
  • C’ = Vni + Vn * Sn^-1(i’)
  • C’ = Vni + Vn * (Vn^-1(i’) – i’)
  • C’ = Vni + C – Vni’
  • Finalmente: C’ = C + Vn * (i – i’)
• Conclusión: La cuota del sistema americano es igual a la cuota del sistema francés más la deuda total multiplicada por la diferencia entre la tasa activa y la pasiva. Como existen dos tasas en el cálculo, es importante conocer el costo financiero de la operación.

Sistema Alemán

• Características: Con cada cuota se pagan intereses sobre el saldo más una suma constante en concepto de amortización real del capital. Como la parte de amortización real es constante y los intereses se calculan sobre Vn-p, las cuotas son decrecientes aritméticamente.
• Deducción de la fórmula de la cuota:
  • C1 = Vn/n + Vni = Vn * (1/n + i) = Vn/n * (1 + in)
  • C2 = Vn/n + (Vn – (Vn/n)) * i = Vn/n * [1 + (n – 1)i]
  • Generalizando para la cuota de cualquier período: Cp = Vn/n * [1 + (n – p + 1)i]
• Ley de cuotas:
  • Para establecer la diferencia entre cuotas, el factor de crecimiento es:
  • C2 – C1 = -(Vn/n) * i
  • Decrece un importe fijo, por lo que resulta aplicable la fórmula de valor actual de una renta con cuotas variables en progresión aritmética donde la razón r = -(Vn/n) * i.

Sistema de Interés Directo

• Tasa fija: Cuotas constantes y en cada pago se amortiza una suma igual de capital. Los intereses se calculan sobre el total de la suma prestada, por lo que la tasa efectiva resultante es mayor a la utilizada en el cálculo. Se utiliza para financiar automotores o bienes durables.
  • C = (Vn/n) + Vni
• Tasa flotante:
  • C = (Vn/n) + Vn * (i1d1 + i2d2 + … + indn)

Sistemas Ajustables

• Tasa fija: Se calcula la amortización real constante (An/n) haciendo el cociente entre el total adeudado y la cantidad de cuotas en que se va a amortizar.
  • Cp = (Vn/n) * (1 + i)^p
  • Esta fórmula sería aplicable en caso de que se mantenga constante la tasa de interés ‘i’ por todo el período, desde el otorgamiento del préstamo hasta el pago, supuesto muy difícil en la actualidad.
• Tasa flotante: Ajustar en cada período con las tasas vigentes:
  • Cp = (Vn/n) * (1 + i1d1 + i2d2 + … + indn) * (1 + i1d1 + i2d2 + … + indn) * … * (1 + i1d1 + i2d2 + … + indn)

Sistema de Ahorro y Préstamo

• Características: Se utiliza cuando el deudor no tiene suficientes bienes como para garantizar un préstamo, por lo que se le pide que abone en forma de ahorro una determinada cantidad de cuotas.
• Cálculo: Se puede calcular de tres maneras:

1. Misma tasa y cuotas para el período de ahorro y préstamo:

• A) Valor actual de los pagos que se capitaliza hasta el momento de valuación (MV):
  • /mVn = Vn * (1 + i)^m
  • /mVn = c * [(1 + i)^n – 1] / [i * (1 + i)^n]
• B) Valor final de los pagos que se actualiza hasta el momento de entrega del préstamo:
  • /Vn = Sn * [1 / (1 + i)^(n-m)]
  • /mVn = c * [(1 + i)^n – 1] / i * 1 / (1 + i)^(n-m)
• C) Se capitalizan todos los pagos de ahorro hasta la entrega del préstamo y se suma el valor actual de las cuotas de la etapa de préstamo en el momento de valuación (MV):
  • /mVn = Sm + Vn-m
  • /mVn = c * [(1 + i)^m – 1] / i + c * [(1 + i)^(n-m) – 1] / [i * (1 + i)^(n-m)]

• Utilizar la alternativa C) para calcular el valor al momento de valuación y la cuota (C).

Etiquetas: Amortización, rentas, sistema alemán, sistema americano, sistema francés