Fundamentos de Geometría

Punto
Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto, carece de forma y dimensiones.

Línea
Es una sucesión infinita de puntos.

Las líneas se clasifican básicamente en:

• Recta
• Poligonal
• Curva

Recta
Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia.

Partes de una Recta:

Semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos.

Segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos.

Posición Relativa entre dos Rectas

Según la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como:

• Rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están contenidas en un plano.
• Rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano.
• Rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano.

Ángulos

Ángulo
Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común.

Clasificación de los Ángulos, según su Medida Angular

Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 360ª parte del ángulo completo), un ángulo se define como:

Ángulos Consecutivos

Son dos ángulos ubicados uno a continuación del otro. Se denominan:

• Ángulos complementarios: si suman 90°.
• Ángulos suplementarios: si suman 180°.

Ángulos Opuestos y Ángulos Adyacentes

Dos rectas que se cortan definen cuatro ángulos, los cuales, tomados en pares se definen como:

• Ángulos opuestos: si no poseen ninguna semirrecta común. En este caso sus medidas angulares son iguales.
• Ángulos adyacentes: si poseen una semirrecta común. En este caso son ángulos suplementarios.

Ángulos Alternos y Ángulos Correspondientes

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ángulos, los cuales, considerados en pares de igual medida angular, se denominan:

• Ángulos alternos, clasificados a su vez en:
  • Ángulos alternos internos
  • Ángulos alternos externos
• Ángulos correspondientes

La Escala

A la hora de dibujar una figura en nuestro papel, nos encontramos con tres casos distintos:

• Dibujarla tal y como es en la realidad.
• Dibujarla más pequeña de lo que es en la realidad, es decir, reducirla.
• Dibujarla más grande de lo que es en realidad, es decir, ampliarla.

Pero tenemos que reducir o ampliar de forma proporcional todas las dimensiones de la pieza.

Definición

Denominamos escala a la relación que existe entre las medidas del dibujo del objeto que hacemos en nuestro papel y las medidas que tiene el objeto real.

Tipos de escala

Teniendo en cuenta todo lo anterior, las escalas pueden ser de tres tipos:

• Escala Natural
  Cuando las dimensiones del dibujo son idénticas a las del objeto.
• Escala de reducción
  Cuando las dimensiones del dibujo son más pequeñas que las del objeto real.
• Escala de ampliación
  Cuando las dimensiones del dibujo son más grandes que las del objeto real.

Representación de escalas

Las escalas se representan mediante fracciones, en las que el numerador representa las medidas del dibujo, y el denominador, las del objeto real. En esta escala, el dibujo de nuestro papel será diez veces más pequeño que el objeto real.

Las escalas se encuentran normalizadas, y algunos ejemplos de estas son: Como se puede apreciar, en la escala natural solo existe un ejemplo. En la escala de reducción el primer número es el 1, mientras que en la escala de ampliación el 1 es el número de la derecha. Por último, se puede aplicar la siguiente regla: para REDUCIR se debe DIVIDIR y para AMPLIAR se debe MULTIPLICAR.

Proyecciones

Se puede definir una proyección como la figura que resulta de proyectar, en una superficie plana, todos los puntos del contorno de un sólido u otra figura. Tiene tres elementos fundamentales:

• Centro de proyección.
• Plano de proyección.
• Líneas de proyección.

Tipos de Proyecciones

Existen diferentes tipos de proyecciones:

• Cónicas: El centro de proyección tiene una posición fija y determinada.
• Cilíndricas: El centro de proyección se supone en el infinito. La proyección Cilíndrica puede ser:
  • Ortogonal: los rayos proyectantes forman un ángulo de 90° con el plano proyectante.
  • Oblicua: los rayos proyectantes forman un ángulo distinto de 90° con el plano de proyección.

Propiedades de las Proyecciones Cónicas

La proyección de un segmento rectilíneo es otro segmento rectilíneo.

El punto medio de un segmento no tiene por qué proyectarse en el punto medio de la proyección de dicho segmento.

El punto de intersección de dos rectas que se cortan se proyecta en el punto.

Los puntos de intersección de una recta y una curva se proyectarán sobre la intersección de sus proyecciones.

El punto de tangencia de una recta y una curva se proyectará en el punto de tangencia de sus proyecciones.

Propiedades de las Proyecciones Cilíndricas

Además de conservar todas las propiedades de la proyección cónica, posee algunas otras como son:

La proyección del punto medio de un segmento es el punto medio de la proyección del segmento.

Las proyecciones de rectas paralelas son rectas paralelas.

Toda figura que sea paralela a un plano de proyección se proyecta en verdadera magnitud con cualquier sistema de proyección cilíndrica o paralela.

En la figura siguiente, los triángulos proyectados (en rojo) son iguales a los triángulos del espacio (en azul), ya que son paralelos al plano de proyección (en verde).

Observación:

Toda figura inclinada u oblicua con respecto a un plano de proyección se proyecta deformada con cualquier sistema de proyección.

En la figura siguiente se puede ver cómo los triángulos proyectados (en rojo) son distintos a los triángulos del espacio (en azul), ya que están inclinados con respecto a los planos de proyección (en verde).

Toda figura que sea paralela a los rayos proyectantes se proyecta como una figura de menor dimensión en un sistema de proyección cilíndrica o paralela. Una recta se proyecta como un punto y un plano se proyecta como una recta.

Sistema Diédrico

Es el precursor de todos los sistemas y el de mayor campo de aplicaciones, especialmente en la industria y obra civil. Es también el sistema más generalizado de todos, conocido con el nombre de sistema de doble proyección, o de Monge, por ser este geómetra francés el primero que lo recopiló. Es un sistema de proyecciones cilíndricas ortogonales, es decir, que en él se emplea exclusivamente la proyección ortogonal. Este tipo de proyección es la más utilizada en Dibujo Técnico.

En ella se mantienen las relaciones de paralelismo y, en aquellas dimensiones que sean paralelas a los ejes, se mantienen además la proporcionalidad, verdadera forma y verdadera magnitud.

En el Sistema Diédrico las proyecciones se realizan sobre planos de proyección perpendiculares entre sí (Plano Horizontal y Vertical) que dividen el espacio en cuatro cuadrantes como puede observarse en la figura siguiente.

A veces, cuando el objeto lo requiere, interviene un tercer plano, denominado de Perfil, que es perpendicular a los dos primeros. Para obtener las proyecciones en el plano del dibujo se considera a éste coincidente con el plano Vertical y los otros dos se giran como se acaba de comentar. Esta disposición de las proyecciones sobre el plano del dibujo es diferente para los americanos, pero la esencia del sistema es la misma.

Teoremas Geométricos

Teorema del cateto
En todo triángulo rectángulo, un cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Teorema de la altura
En triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que dividen a esta.

Teorema de Pitágoras
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Elementos del Círculo

Centro, arco, semicircunferencia, radio, diámetro, cuerda.

Semicírculo, sector circular, segmento circular.

Posiciones Relativas de dos Circunferencias

Exteriores, tangentes exteriores, tangentes interiores, secantes, concéntricas.

Elementos del Triángulo

Bisectrices = centro de la circunferencia tangente interior (INCENTRO)

Mediatrices = circuncentro

Etiquetas: ángulo, escala, geometría, línea, proyección, punto, Sistema diédrico