Fundamentos del Aprendizaje Matemático

La matemática es un conjunto de conocimientos asociados a los números y las formas, que se van completando progresivamente hasta constituir un modo valioso de analizar situaciones variadas. Es un conjunto de ideas y formas de actuar que conllevan no solo utilizar cantidades y formas geométricas, sino hacerse preguntas, obtener modelos e identificar relaciones y estructuras. De este modo, al analizar los fenómenos y situaciones que se presentan en la realidad, se pueden obtener informaciones y conclusiones que inicialmente no estaban explícitas.

Enfoques del Currículo de Matemáticas

• Empírocéntrico: Matemáticas ligadas a la experiencia.
• Psicocéntrico: Matemáticas adecuadas a las posibilidades del alumnado.
• Logocéntrico: Matemáticas para el conocimiento de la realidad y su utilidad.

Objetivos Clave

Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en la sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las matemáticas han contribuido a su desarrollo. Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método matemático.

Capacidades a desarrollar:

• Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información matemática y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional.
• Capacidad para discutir o comunicar información matemática, cuando sea relevante, y competencia para resolver los problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional.

Características Esenciales

Modelización y resolución de problemas. Razonamiento matemático, Razonamiento empírico-inductivo. Lenguaje y comunicación. Estructura interna. Naturaleza relacional. Exactitud y aproximación.

Componentes del Aprendizaje

Objetivos:

• Problemas y situaciones (cuestiones, ejercicios, etc.)
• Lenguaje (términos, expresiones, gráficos)
• Acciones (técnicas, algoritmos, etc.)
• Conceptos (definiciones o reglas de uso)
• Propiedades de los conceptos y acciones
• Argumentaciones (inductivas, deductivas, etc.)

Los conceptos y propiedades deben ser recordados al realizar las tareas. Las argumentaciones sirven para justificar las propiedades.

Procesos Matemáticos

1. Resolución de problemas: Implica exploración de posibles soluciones, modelización de la realidad, desarrollo de estrategias y aplicación de técnicas.
2. Representación: Uso de recursos verbales, simbólicos y gráficos, traducción y conversión entre los mismos.
3. Comunicación: Diálogo y discusión con los compañeros y el profesor.
4. Justificación: Con distintos tipos de argumentaciones inductivas, deductivas, etc.
5. Conexión: Establecimiento de relaciones entre distintos objetos matemáticos.
6. Institucionalización: Fijación de reglas y convenios en el grupo de alumnos, de acuerdo con el profesor.

Transposición Didáctica

La transposición didáctica se refiere al cambio que el conocimiento matemático sufre para ser adaptado como objeto de enseñanza. Como consecuencia, se producen diferencias en el significado de los objetos matemáticos entre la institución matemática y la institución escolar. El fin del profesor es que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en la sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las matemáticas han contribuido a su desarrollo.

Etapas del Aprendizaje Matemático

1. Juego libre: El alumno interactúa libremente con la situación presentada hasta que algún tipo de regularidad comienza a surgir. Adaptación.
2. Aprendizaje de reglas del juego: Mediante el juego libre y tras un tiempo de adaptación, el alumno se da cuenta de las reglas del juego. Mientras experimenta, el niño se da cuenta de lo que debe hacer para conseguirlo.
3. Comparación: Una vez que los niños juegan, estos juegos pueden ser discutidos, en comparación con otros. El descubrimiento de ciertos hechos comunes a diversas actividades, tomar conciencia de la estructura común a todos los juegos, dará lugar a más conocimientos y estructura matemática. Juego dirigido.
4. Fase de representación: El niño ha identificado el contenido abstracto de un número de juegos. Necesita una forma de representación para utilizar lo abstraído, porque aún no ha quedado fijado en la mente. Se propone una representación (oral, escrita, simbólica) como vehículo que le ayudará a fijar en la mente el núcleo común.
5. Fase de simbolización: El niño, ya tiene representado un concepto, pasa al examen y descripción para darse cuenta de sus propiedades principales.
6. Formalización: Deducir otras reglas del juego formales. Obtener unos métodos que permitan, a partir de las definiciones y propiedades anteriores, deducir otras.

Contenidos Clave

Números y operaciones, Medida, Geometría, Tratamiento de la información, azar y probabilidad.

No es lo mismo pensar en el número 5 que representar el nº 5 (conjunto a emparejar). No confundir número con cifra. La cifra es el símbolo. Todos los números están compuestos de cifras (ej. 30: 3 y 0).

Problemas Matemáticos

Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cual no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma. Un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes:

1. Aceptación: El individuo o grupo debe aceptar el problema. Debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas.
2. Bloqueo: Los intentos iniciales no dan fruto. Las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.
3. Exploración: El compromiso personal o del grupo fuerza la exploración de nuevos métodos para atacar el problema.

Herramientas de Aprendizaje

Ábaco: Según la posición, es un valor u otro. Reproduce físicamente las características de los sistemas de numeración posicionales ordenados, ya que las bolas representan un valor numérico diferente según la posición de la varilla en que están colocadas.

Bloques: Según la base, por agrupamiento múltiple.

Sistemas de Numeración

La finalidad del sistema de numeración es asignar a cada número natural individual un nombre y una representación escrita formada por las combinaciones de un reducido número de signos, efectuados siguiendo las leyes más o menos regulares. El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número.

El sistema actual de numeración es un sistema posicional, lo que quiere decir que el valor de cada número depende de la posición que ocupa. Tenemos que decidir la base de numeración que vamos a utilizar. La base de numeración quiere decir cuántos dígitos diferentes vamos a utilizar.

Algoritmos

Un algoritmo es una serie finita de reglas a aplicar en un determinado orden a un número finito de datos, para llegar con certeza, en un número finito de etapas, a cierto resultado, y esto independientemente de los datos. Por lo tanto, un algoritmo no resuelve solamente un problema único, sino toda una clase de problemas que no difieren más que por los datos, pero que están gobernados por las mismas prescripciones. Algoritmo es un término utilizado para denotar un procedimiento mecánico a ejecutar paso a paso. Los algoritmos de lápiz y papel:

• Funcionan para cualquier número.
• Manejan símbolos sin referencia al mundo real.
• Las cifras se consideran separadas en sus componentes.
• Son regulares, mecánicos.
• Son rutinarios.
• Son eficaces.

Un algoritmo es una sucesión de reglas a aplicar, en un determinado orden, a un número finito de datos para llegar con certeza en un número finito de etapas a cierto resultado. No exigen una toma de decisiones, sino simplemente la puesta en marcha de un proceso que se compone de una sucesión de órdenes inequívocas.

Múltiplos

1. Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
2. El cero es múltiplo de cualquier número natural.
3. La suma de varios múltiplos de un número también es múltiplo de dicho número.
4. Si dos números son múltiplos de un número, lo es también la diferencia entre ellos.
5. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero son múltiplos del segundo.

Divisores

1. El cero no es divisor de ningún número.
2. El uno es divisor de cualquier número.
3. Si un número es divisor de otros, lo es de su suma.
4. Si un número es divisor de otros dos, lo es de su diferencia.
5. Todo número que es divisor de otro, lo es también de todos sus múltiplos.

Máximo Común Divisor (MCD)

El máximo común divisor de dos o más números:

• Es el mayor de sus divisores comunes.
• Es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente.

Ejemplo: «Tengo que repartir 200 lápices y 125 bolígrafos en paquetes iguales, de tal forma que obtengamos el mayor número de paquetes posible, ¿cuál será el número de paquetes? ¿qué número de lápices y de bolígrafos habrá en cada uno?»

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo de dos o más números:

• Es el menor de sus múltiplos comunes.
• Es igual al producto de todos los factores primos (comunes y no comunes) elevados al mayor exponente.

Ejemplo: «Las fiestas de los pueblos de Juan y María se celebran cada 3 y 4 años, respectivamente. Si en el 2005 han coincidido, ¿en qué año volverán a coincidir?»

Etiquetas: Aprendizaje, Didáctica, enseñanza, matemáticas, procesos matemáticos