16 Nov

Estadística

Herramienta del método científico que favorece la implementación de procesos de inducción. Proporciona herramientas para cuantificar el grado de riesgo asociado a las inferencias y procesar de forma sistemática la información disponible. Dota de objetividad y rigor científico a los procesos de toma de decisiones ligados a la resolución de problemas.

Variables Aleatorias

Cuantificación (asignación numérica) de los resultados del experimento aleatorio. Existen dos tipos:

  • Discreta: Toma un número finito o infinito numerable de valores de R.
  • Continua: Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo o en la recta real.

Esperanza Matemática

Promedio de los valores que tomaría la función g(x) si se repitiese infinitas veces el experimento aleatorio. Se interpreta como el valor de g que esperamos obtener en cada repetición.

Cálculo de Probabilidades en Inferencia Estadística

El Cálculo de Probabilidades proporciona los fundamentos matemáticos para cuantificar la incertidumbre en la estimación y contraste. Elabora modelos matemáticos que describen los mecanismos generadores de las muestras aleatorias, relacionando parámetros poblacionales con los observados. Calcula las distribuciones en el muestreo de los estadísticos para analizar su comportamiento y evaluar el error.

Medidas Estadísticas

Media (μ)

Centro de gravedad de la distribución. Indica la situación de la variable en la recta real.

Varianza

Indica la dispersión o variabilidad de la variable. A mayor varianza, mayor incertidumbre.

Teorema Central del Límite (TCL)

Cuando los resultados de un experimento son debidos a un conjunto grande de factores independientes, es esperable que sigan una distribución normal.

Inferencia Estadística

Confronta los resultados de un modelo estadístico con la realidad observable. Se parte de una población con un modelo desconocido y se extrae una muestra para inferir información. Es fundamental en el razonamiento inductivo. Técnicas: estimación y contraste de hipótesis.

Conceptos Clave

  • Población: Conjunto de elementos a estudiar.
  • Parámetro: Característica de la población a estimar.
  • Variable: Característica observable de un elemento.
  • Muestra: Subconjunto representativo de la población.
  • Muestra Aleatoria: Muestra extraída aleatoriamente.
  • Datos: Valores observados en la muestra.
  • Estadístico: Característica de la muestra.
  • Modelo: Representación simplificada de la realidad.

Muestreo

Procedimiento para seleccionar elementos de la muestra.

Tipos de Muestreo

  • Aleatorio Simple con Reposición: Cada elemento tiene la misma probabilidad de ser extraído y las extracciones son independientes.
  • Aleatorio Simple sin Reposición: Las extracciones no son independientes y la probabilidad varía.
  • Sistemático: Se divide la población en bloques y se selecciona un elemento de cada bloque.
  • Estratificado: Se divide la población en estratos homogéneos y se muestrea cada estrato.
  • Conglomerados: Se divide la población en conglomerados heterogéneos y se estudian todos los elementos de los conglomerados seleccionados.
  • Unidad Monetaria: Se seleccionan unidades con mayor valor monetario.

Estadístico

Función de la muestra que no depende de parámetros desconocidos. Su distribución depende de la muestra.

Métodos de Muestreo

  • Exacto (Cambio de Variable): Calcula la distribución exacta del estadístico.
  • Aproximados:
    • Artificial (Montecarlo): Simula muestras y construye histogramas.
    • Asintóticas: Utiliza el TCL para muestras grandes.

Estimación

Proceso para inferir el valor de un parámetro desconocido.

Tipos de Estimación

  • Puntual: Valor concreto del estimador.
  • Por Intervalos: Intervalo que contiene el parámetro con una probabilidad fijada.

Métodos de Estimación

  • Momentos: Iguala características poblacionales y muestrales.
  • Máxima Verosimilitud: Busca el valor que maximiza la probabilidad de la muestra obtenida.

Intervalo de Confianza

Límites que contienen el parámetro con una probabilidad fijada (nivel de confianza).

Estadístico Pivotal

Función monótona de θ, calculable en la muestra, con distribución conocida y que no depende de θ.

Contraste de Hipótesis

Regla de decisión sobre el rechazo de una hipótesis nula (Ho) basada en un estadístico de discrepancia.

Relación con Intervalos de Confianza

Ambas técnicas infieren sobre parámetros, pero con objetivos distintos. Un intervalo de confianza del 100(1-α)% contiene los valores aceptables para una hipótesis nula con nivel de significación α.

Conceptos Clave

  • Hipótesis Estadística: Afirmación sobre una característica poblacional.
  • Contraste de Hipótesis: Regla de decisión sobre Ho.
  • Búsqueda del Contraste Uniformemente de Máxima Potencia (UMP): Busca el contraste más potente con el mismo nivel de significación.

Etapas del Contraste

  1. Planteamiento de hipótesis.
  2. Selección del estadístico.
  3. Obtención de regiones crítica y de aceptación.
  4. Cálculo del estadístico.
  5. Resolución estadística.
  6. Interpretación y toma de decisión.

P-valor vs Nivel de Significancia

El p-valor utiliza toda la información muestral y permite comparar contrastes. Sin embargo, depende del valor observado y no es una probabilidad a posteriori.

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