Interpretaciones de la Probabilidad

Tres conceptos de probabilidad: lógico, subjetivo, objetivo.

Probabilidad Lógica

La probabilidad mide ciertas relaciones objetivas de apoyo evidencial (implicación parcial): cuánto apoyo confiere cierta evidencia a una hipótesis. Su valor puede ser determinado a priori examinando el espacio de posibilidades. La teoría clásica (laplaciana) de la probabilidad puede verse como una instancia de esto.

• Principio de indiferencia: En ausencia de cualquier evidencia (o presencia de evidencia simétrica), la probabilidad de un evento viene dada por la fracción entre los casos favorables y los casos posibles.
• Otro ejemplo es la teoría de Carnap.

Problemas: Presupone que la estructura del espacio de posibilidades determina de manera no ambigua las probabilidades. Colapsa en la interpretación subjetivista.

Probabilidad Objetiva

La probabilidad está determinada por ciertas propiedades (físicas) del sistema. El frecuentismo establece que la probabilidad de un evento A en una clase de referencia B es su frecuencia relativa de ocurrencias de A en B (el límite de la frecuencia cuando la clase de referencia tiende a infinito).

Problemas: Los eventos singulares no parecen tener probabilidad asignada. Las clases de referencia no siempre están bien delimitadas.

• Propensidades: Las probabilidades son propiedades objetivas de eventos singulares (dependen de la situación empírica).

Problemas: Oscuridad metafísica. Las probabilidades inversas: un paciente tiene la disposición x de tener cierta enfermedad y, como consecuencia, cierta probabilidad de que el test sea positivo. ¿Cierto test positivo tiene la disposición de haber venido de un paciente enfermo?

Probabilidad Subjetiva

La probabilidad de un evento A es interpretada como el grado de creencia que un sujeto racional ideal asigna al evento A. ¿Qué es un sujeto racional? Idealmente, uno cuyas creencias son consistentes: esto, además de la consistencia lógica, puede incluir algún principio que no le permita actuar en contra de sus propios intereses.

Se pretende demostrar que ha de asignar grados de creencia que se ajustan a los axiomas de la probabilidad. El grado de creencia p en E es el precio que estarías dispuesto a pagar (o recibir) para ganar una unidad de utilidad si E se da: P(E) = p. Una apuesta X : Y significaría que el sujeto está dispuesto a arriesgar X euros para ganar Y, lo que se traduce en:

• Grado de creencia: X / (X + Y).

Argumento del Dutch Book

Un Dutch book (contra un agente) es una serie de apuestas que el agente acepta y aseguran su pérdida (salga lo que salga). Se puede probar un teorema matemático que garantiza que un agente que asigna grados de creencia que violan los axiomas de la probabilidad puede recibir un Dutch book y viceversa (un agente que respeta los axiomas es inmune al Dutch book). Esto restringe qué es racional: los grados de creencia de un sujeto racional deben satisfacer los axiomas de la probabilidad.

Problemas: más adelante.

Ejemplos de Grados de Creencia

• Q(E) < 0: El grado de creencia que asigna el agente a que se dé E es Q(E) < 0. El agente tiene que vender una apuesta que paga 1 unidad si se da E por Q(E). Luego, pierde |Q(E)| + (1 si E se da o 0 si E no se da).
• Q(T) < 1: El grado de creencia que asigna el agente a que se dé T (tautología) es Q(T) < 1. El agente tiene que vender una apuesta que paga 1 unidad si se da T por Q(T). Tiene que pagar 1 unidad en cualquier caso: Balance: Q(T) – 1 < 0.
• Q(A V B) < Q(A) + Q(B): (A y B mutuamente inconsistentes) El grado de creencia que asigna el agente a que se dé A V B es Q(A V B). El agente tiene que vender una apuesta que paga 1 unidad si se da A V B por Q(A V B) y comprar apuestas a favor de A y B por Q(A) y Q(B). Balance: Q(A V B) – (Q(A) + Q(B)) < 0.

Probabilidad como Medida de la Justificación

A cada argumento probable se le puede asociar una probabilidad condicionada: P(H|E). Intuitivamente, la evidencia confiere cierta probabilidad a la hipótesis; si no hay certeza, la justificación de la hipótesis depende de la evidencia.

• Principio de condicionalización: si S sabe que se da E, debe ajustar su grado de creencia en H al valor dado por P(H|E). Hay que condicionar sobre el enunciado más fuerte lógicamente que uno sepa. Esto presupone el argumento del Dutch book… los grados de creencia son probabilidades.

¿Es suficiente la medida probabilista para justificar las inferencias inductivas? Depende de las propiedades de P(H|E).

Evaluación de P(H|E)

Teorema de Bayes: P(H|E) = P(E|H)P(H) / P(E). Si H es una hipótesis predictiva que implica E (bajo ciertas hipótesis auxiliares), entonces P(E|H) = 1, lo que implica que P(H|E) = P(H) = P(E). Pero no sabemos cómo asignar probabilidades primitivas.

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