21 Nov
Sistemas de Numeración
La numeración en la actualidad tiene alguna de estas características:
- No es aditiva, de manera que hay un signo diferente para las diez primeras cifras, entre los que se incluye el 0.
- Cuenta en base diez, es decir, que por cada diez unidades de un mismo orden equivalen a una unidad del orden superior, y viceversa.
- Es posicional, por cuanto una cifra como 3 tiene un valor en sí misma en las unidades y otro en relación a la posición que ocupa. La presencia del 0 garantiza claridad.
De cualquier base a base diez
Supongamos que tenemos el número 121 en base 4, es decir, que 4 unidades de un orden son equivalentes a una unidad de orden superior. Puede representarse en un ábaco plano.
Tomamos la unidad de tercer orden (izquierda). ¿A cuántas unidades de primer orden equivale? 1 * 4 transforma esa unidad de 3er orden en una unidad de 2º orden y de nuevo se multiplica por 4 y la transformamos en unidades de 1er orden. Del mismo modo, las dos unidades de segundo orden hay que multiplicarlas por 4 para transformarlas en unidades de 1er orden. A eso hay que sumar la unidad de 1er orden que se tenía.
De base diez a cualquier base
Si queremos hacer el proceso inverso se debe realizar de otro modo. Tenemos el número 38 y queremos expresarlo en base 4. En el ábaco plano es como si tuviésemos el número 38 en unidades de primer orden. Los pasos son:
- Transformación en unidades de segundo orden: 38 : 4 = 9 y resto 2. Lo que significa que las 38 unidades se pueden expresar como 9 grupos de 4 unidades de segundo orden y restan 2 unidades de primer orden no agrupables.
- Transformación en unidades de tercer orden: 9 : 4 = 2 y de resto 1, lo que significa que las 9 unidades de 2º orden dan lugar a dos grupos de 4 unidades de 3er orden, sobrando una de segundo orden no agrupable.
Método de tomar prestado
Es el más usual al comienzo de la enseñanza y, por ser distinto al habitual, lo haremos en base distinta de la decimal. El procedimiento consiste en operar entre sí las unidades del mismo orden. Cuando sea posible realizar la resta, se hará normalmente, pero en caso contrario, se tomará prestada una unidad de orden superior transformándola en las unidades de orden inmediatamente inferior que correspondan a la base.
Método de las llevadas
Es el más usado en base decimal. Consiste en plantear la operación igual que antes, pero de modo diferente cuando no se pueda realizar la resta entre las unidades que se trate. Se añaden 10 unidades auxiliares al minuendo, se realiza la resta entre esas unidades y luego se lleva una, añadiéndose al sustraendo en la unidad inmediatamente superior.
Algoritmo de Celosía
El algoritmo de celosía agrupa las unidades del mismo orden dentro de los resultados parciales. Los dos factores de la multiplicación se colocan en la parte superior y derecha de un casillero, de forma que el resultado de cada casilla se obtenga de esa multiplicación. La disposición de las diagonales permite diferenciar, dentro de cada casilla, el orden de la unidad de cada cifra y alinear las unidades del mismo orden. Este procedimiento puede utilizarse para realizar multiplicaciones en bases distintas de la decimal. Así es el caso de 243 x 32 = 14431 en base 5.
Fracciones Equivalentes
La fracción ¼ expresa la relación entre una parte y el todo. Si el todo se dividiera en 8 partes iguales o en 12, la parte inicial sombreada se representaría mediante fracciones diferentes. Ej: ¼, 2/8, 3/12… vienen a representar la parte y el todo y se puede afirmar que son equivalentes. Definamos si una fracción es equivalente o no. Tal como hemos visto antes, se puede obtener fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por el mismo número: a/b = ak/bk, siendo k distinto de cero. También se puede hacer por el método de simplificación. En ocasiones no es tan claro si dos fracciones son equivalentes. ¿Cómo podemos afirmar si a/b y c/d son equivalentes? Podemos transformarlas en otras equivalentes multiplicando la primera por d y la segunda por b: ad/bd y cb/db. Se cumple que a/b = c/d si ad = bc, es decir, ya que los denominadores son iguales, cuando lo sean también los numeradores. r/s = h/t cuando rt = hs. Esta relación permite agruparlas, perteneciendo al mismo grupo de fracciones equivalentes. Cada uno de estos grupos se conoce como número racional y la fracción más sencilla numéricamente de cada grupo se denomina representante de este número racional.
División de fracciones
La operación de dividir fracciones hay que interpretarla como la acción de multiplicar fracciones cuando uno de los factores es desconocido: 2/5 * a/b = 6/35. Caben dos procedimientos: uno más laborioso, basado en buscar un denominador común en ambas fracciones, o también es posible multiplicar por la fracción inversa de la que actúa como divisor, de manera que se consiga la unidad, método que se puede determinar como (a * d) / (b * c).
Orden de números racionales
A mayor denominador indica una fracción menor, como en el caso de 3/8 < 3/5. Así como un mayor numerador señala que la fracción es mayor también. El problema viene cuando los numeradores y denominadores son distintos, en el que hay que convertir las fracciones en equivalentes con el mismo denominador. Así se puede comparar numeradores, que viene a indicar generalmente que a/b < c/d cuando ad < bc.
Hay un número infinito de fracciones entre una y otra. Ahora vamos a ver los procedimientos para obtener r/s:
- Se transforman las fracciones dadas en otras equivalentes de mismo denominador, buscando un intermedio.
- El procedimiento se puede generalizar para buscar otras fracciones.
- Se puede obtener la fracción intermedia sin más que utilizar la media aritmética.
- Otra curiosa forma de encontrar una fracción entre otras dos consiste en formar la fracción con la suma de numeradores y denominadores: a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.
Expresión decimal pura
N = a,bcdbcd… Pues bien, multiplicando este número por una potencia de diez al objeto de dejar la misma expresión periódica a la derecha de la coma: 10³N = abcd,bcd… N = a,bcd… Se resta, obteniéndose 999N = abcd – a, de modo que N = (abcd – a) / 999.
Expresión decimal periódica mixta
N = a,bcdefdef… Se multiplica por la potencia de diez necesaria para transformar esta expresión en otra que muestra una parte periódica pura: 10²N = abc,def… De modo que a este nuevo número se le aplica el procedimiento anterior: 10³ * 10²N = 10⁵N = abcdef,def… Procediéndose a la resta: 10⁵N – 10²N = abcdef – abc; 99900N = abcdef – abc; N = (abcdef – abc) / 99900.
Algoritmo de Euclides
Principio de la resta
Se basa en la resta de dos números. Ya habíamos demostrado que si d era divisor de a y b, entonces era divisor de su diferencia a – b. Es decir, d es divisor común (a, b), de donde d es divisor de a – b. Si se consigue demostrar lo contrario, tendríamos que d es divisor común (a – b, b), de donde d es divisor de a. De modo que los divisores comunes de (a, b) serían los mismos que los de (a – b, b), de manera que, en particular, su MCD sería el mismo. Vamos a probar esta segunda implicación: si d es divisor de b, existe un l de Z, tal que dl = b. Si d es divisor de a – b, existe un m de Z tal que dm = a – b. Sustituyendo el valor de b en la segunda igualdad: dm = a – dl, de donde dm + dl = a, de donde d(m + l) = a, indica que d es también divisor de a. Por tanto, para hallar el mcd(676, 221) = mcd(676 – 221, 221) = mcd(455, 221)… Dado que el 13 es un número primo, se deduce de ello que el mcd(221, 13) = 13.
Procedimiento de la división
El anterior puede aplicarse a través de la división. Así, dividimos un número D entre un número n, resulta un cociente c y un resto r, expresada su relación como D = n * c + r. Pues bien, a partir de esta relación se puede demostrar que el conjunto de divisores comunes de (D, n) es el mismo que el de divisores de (n, r). Para demostrarlo se darán dos pasos complementarios:
- Demostración de que si d es divisor común de (D, n), lo es también de (n, r): si d es divisor de (D, n), existirán l, m de Z tales que dl = D, dm = n. Si despejamos el resto r: r = D – nc. Sustituyendo: r = dl – dmc = d(l – mc), lo que demuestra que d es divisor de r.
- Demostración de que si d es divisor de (n, r) es también divisor de (D, n): si d es divisor de n y r, entonces existen m, t de Z tales que dm = n, dt = r. D = nc + r = dmc + dt = d(mc + t), que demuestra que d también es divisor de D.
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