TIPO PUNTO 1

Teorema de Green (Cálculo de Áreas)

Enunciado y demostración de una de las fórmulas del Corolario del Teorema de Green para el cálculo de áreas:

Sea C una curva regular plana por partes, cerrada y simple, y sea R la región que consta de C y su interior. Si M y N son funciones con derivadas parciales continuas en una región abierta D que contiene a R, entonces:

∮_C M(x,y)dx+N(x,y)dy=∬_R(∂N/∂x – ∂M/∂y)dA

Corolario:

Definiendo M=0 y N=x, y usando el Teorema de Green, se obtiene:

A=∬_RdA= -∮_Cydx

Si la frontera de una región R en el plano xy es una curva regular por partes, cerrada y simple C, entonces el área A de R es:

A=∮_Cxdy = -∮_Cydx = ½∮_C(xdy – ydx)

Teorema de Green (Regiones con Agujeros)

Aplicación del Teorema de Green en regiones con agujeros:

C = C₁ ∪ C₃ ∪ C₂ ∪ C₄

Sumando todas las integrales de las subcurvas y sabiendo que ∮_C3 = -∮_C4, se llega a:

(Insertar dibujo)

∮_C1M(x,y)dx + N(x,y)dy + ∮_C2M(x,y)dx + N(x,y)dy = ∬_R(∂N/∂x – ∂M/∂y)dA

Se aplica el Teorema de Green integrando sobre toda la frontera (externa e interna), circulando las mismas de modo que R se mantenga a la izquierda de la curva.

Integrales en Coordenadas Polares

Enunciado del teorema de evaluación de integrales dobles en coordenadas polares, mostrando cómo se calcula el área del elemento de partición:

Sea z = F(r,θ) definida en toda la región cerrada R. Si el área elemental de un elemento de la partición interior es ΔA_k = r_kΔr_kΔθ_k, la integral doble en coordenadas polares se define como:

∬_RF(r,θ)dA=lím_||P||→0∑_kF(r_k,θ_k)r_kΔr_kΔθ_k

TIPO PUNTO 2

¿Qué ocurre si se invierte el sentido de recorrido de la curva en una integral de línea de un campo escalar respecto del arco? ¿Y respecto de x o de y? ¿Y de un campo vectorial? Justifique su respuesta.

¿La integral de línea de un campo escalar respecto del arco depende del sentido de recorrido de la curva? ¿Y la de un campo vectorial? Justifica las respuestas.

Sea C una curva plana regular (o aislada) con parametrización x=g(t); y=h(t) con t ∈ [a,b]. Sea f(x,y) una función continua en una región D que contiene a la curva C. Se definen las integrales de línea con respecto a x, y y s.

∫_Cf(x,y)ds = lím_||P||→0∑f(u_k,v_k)Δs_k; con Δs_k=√(Δx_k²+Δy_k²)

∫_Cf(x,y)dx = lím_||P||→0∑f(u_k,v_k)Δx_k

∫_Cf(x,y)dy = lím_||P||→0∑f(u_k,v_k)Δy_k

Al invertir el sentido de recorrido:

1. Integral de línea de un campo escalar respecto al arco ds: No afecta el valor, ds es positivo y no depende de la orientación.
2. Integral de línea de un campo escalar respecto de dx o dy: Cambia el signo de la integral. El diferencial dx o dy cambia de signo.
3. Integral de línea de un campo vectorial: Cambia el signo. Depende del producto escalar entre el campo y el vector tangente, que cambia de dirección.

Sea F(x,y,z) un campo vectorial continuo sobre C con parametrización x=g(t); y=h(t); z=k(t) con t ∈ [a,b]. La integral de línea de F a lo largo de C es:

W=∫_CM(x,y,z)dx + N(x,y,z)dy + P(x,y,z)dz = ∫_a^bF(r(t))⋅r’(t)dt = ∫_CF⋅dr = ∫_CF_Tds

r = xi+yj+zk → dr=dxi+dyj+dzk ; dr=Tds , T=vector tangente

La integral de línea de un campo vectorial sí depende del sentido, ya que la dirección del vector tangente se invierte.

TIPO PUNTO 3

Independencia de la Trayectoria

Campo conservativo:

Dada una función escalar f(x,y,z), se define su vector gradiente ∇f(x,y,z) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k.

Si F(x,y,z)=∇f(x,y,z), F es un campo vectorial conservativo y f(x,y,z) es su función potencial.

∫_CF⋅dr es independiente de la trayectoria en D si:

∫_C1F⋅dr = ∫_C2F⋅dr para dos trayectorias C₁ y C₂ en D con los mismos puntos inicial y final.

Teorema:

Sea F(x,y) = M(x,y)i+N(x,y)j continuo en D abierta y conexa. ∫_CF⋅dr es independiente de la trayectoria ↔ F(x,y)=∇f(x,y) para alguna f.

Teorema de Independencia de Trayectorias y Trayectorias Cerradas

Sea F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j continuo en D abierta y conexa. ∫_CF⋅dr es independiente de la trayectoria ↔ ∮_CF⋅dr=0 para toda C cerrada simple en D.

∫_CF⋅dr = ∫_C1F⋅dr + ∫_C2F⋅dr = ∫_C1F⋅dr – ∫_–C2F⋅dr = 0

Independencia de la Trayectoria y Rotacional

Rotacional:

rot F = (∂P/∂y – ∂N/∂z)i + (∂M/∂z – ∂P/∂x)j + (∂N/∂x – ∂M/∂y)k = ∇×F

Sea F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + Q(x,y,z)k donde M, N y Q tienen derivadas parciales continuas en D abierta y conexa. ∫_CF⋅dr es independiente de la trayectoria → rot F = 0. Si D es simplemente conexa, vale la recíproca.

PREGUNTAS PUNTO 3

1. Dado un campo vectorial en R³, establezca qué relación hay entre el rotacional y la condición de ser conservativo el campo. Diga cuál implica a cuál y bajo qué condiciones de la región.

   Si F es conservativo → ∇×F=0 siempre.

   Si ∇×F=0 en una región simplemente conexa → F es conservativo.

   Si ∇×F=0 en una región no simplemente conexa, F no es necesariamente conservativo.

2. Justifique que dado un campo vectorial F(x, y, z) en una región conexa D, ∫_CF⋅dr es independiente de la trayectoria en D ↔ ∮_CF⋅dr=0 para toda curva cerrada C en D.

   Si C es cerrada, las coordenadas de los puntos inicial y final coinciden, y la diferencia de potencial es nula.

3. Demuestre la relación que hay entre independencia de trayectoria e integral nula para toda curva cerrada, de un campo vectorial en una región conexa.

   Si F es independiente de la trayectoria, ∮_CF⋅dr=0 para toda curva cerrada C en D. Si ∮_CF⋅dr=0 para toda C en D, entonces F es conservativo en una región simplemente conexa.

4. Defina independencia de trayectoria y campos gradientes. ¿Hay alguna relación entre ambos? Si es necesario, enuncie el/los teoremas relacionados.

   Independencia de trayectoria: ∫_CF⋅dr es independiente de la trayectoria en D si ∫_C1F⋅dr = ∫_C2F⋅dr para dos trayectorias C₁ y C₂ en D con los mismos puntos inicial y final.

   Campo gradiente (conservativo): F(x,y,z)=∇f(x,y,z) para alguna función escalar f (función potencial).

   Teorema de independencia de la trayectoria: ∫_CF⋅dr es independiente de la trayectoria ↔ F(x,y)=∇f(x,y) para alguna f.

   ∫_CF⋅dr=f(x₂,y₂)-f(x₁,y₁)

TIPO PUNTO 4

1. Defina la integral de superficie de un campo vectorial y muestre cómo queda el teorema de evaluación cuando la superficie está dada por z = f(x,y).

   Sea F un campo vectorial continuo sobre S con vector normal unitario n. La integral de superficie de F sobre S es:

   ∬_SF⋅n dS

   Si S está dada por z = f(x,y):

   ∬_SG(x,y,z)dS = ∬_RxyG(x,y,f(x,y))√(f_x²+f_y²+1)dA

2. Interpretación del rotacional en un punto mediante el teorema de Stokes.

   Teorema de Stokes: ∫_CF⋅Tds=∬_S(rot F)⋅n dS

   El rotacional en un punto P se interpreta como la circulación del fluido por unidad de superficie, alrededor del borde de un disco circular perpendicular a n cuando el disco se contrae a P.

TIPO PUNTO 5

1. Interpretación de la divergencia en un punto mediante el teorema de Gauss.

   Teorema de Gauss: ∫∫_SF⋅n ds = ∫∫∫_Q∇⋅F dv

   La divergencia de F en P es el límite del flujo por unidad de volumen a través de una esfera con centro en P, cuando el radio tiende a 0.

2. ¿Qué ocurre con el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada cuando la divergencia es nula en toda la región? ¿Es necesario que la región sea simplemente conexa para poder dar una respuesta? Justifique ambas respuestas.

   Si la divergencia es nula, el flujo a través de la superficie cerrada es nulo (fluido incompresible). No es necesario que la región sea simplemente conexa.

Etiquetas: Cálculo Vectorial, Campos Vectoriales, divergencia, Integrales de Línea, Integrales de Superficie, Teorema de Gauss, Teorema de Green, Teorema de Stokes